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タグ「フラクタル」の一覧

サッカーの試合の中にフラクタルが存在することを実証。

2014年2月、山梨大学の木島章文准教授、同大の島弘幸准教授、北海道大学の横山慶子博士研究員、名古屋大学の山本裕二教授による論文Emergence of self-similarity in football dynamics(英語、PDF)がEuropean Physical Journal Bにオンライン掲載された。
日本語のプレスリリース(PDF)

横山慶子研究員と山本裕二教授は2011年にも論文「サッカーゲームにはハブがある」を発表しており、サッカーと複雑系科学の関係を実証的に明らかにする先進的な研究をしている。
参考:[書評] サッカーゲームにはハブがある

今回発表された論文では、サッカーの試合における複雑なダイナミクスの中にフラクタルが存在することを実証した。

フラクタルといえばヴィトル・フラーデ教授による戦術的ピリオダイゼーション理論にも登場する概念。フラーデ教授は「サッカーはカオスであり、かつフラクタルである」という言葉を残しているが、ここでいうフラクタルと本論文におけるフラクタルは含意レベルが異なっている。

戦術的ピリオダイゼーション理論では、プレーモデルが金太郎飴のように浸透している(自己相似系で表出する)といった意味合いや、トレーニングと試合では同じ状況が出現するようにオーガナイズする必要があるといった文脈でフラクタルという言葉が使われている。

一方で本論文におけるフラクタルはよりアカデミックだ。本エントリーで論文の内容を紹介したい。

フラクタルはどこに出現するのか

研究グループでは、サッカーで対戦する両チームの「支配領域」の前線位置とボールの位置についてのデータを取得した。対象の試合は2008年のクラブワールドカップのガンバ大阪VSアデレード・ユナイテッドおよび2011年のJリーグの浦和レッズVS横浜Fマリノスの2試合である。

支配領域については執筆者のグループが作成したこの動画を参考にしてほしい。

1人の選手の支配領域を20メートル(ピッチの横幅68メートルを3〜4人でカバーするため)と仮定し、ピッチ上の22人の影響力を時系列に表現したものである。

サッカーには「流れ」が存在し、また「相手を押し込む」などの表現があるが、それを可視化したものであると考えればよい。

この支配領域の変動における前線位置(frontline)の時系列の変化をグラフに取ると下図のようになる。

fractal01.jpg
前述の論文P.5のFig.3から引用


一見無造作な波形に見えるが、実はそうではない。次のグラフを見てほしい。異なる時間帯の波形を横幅3倍、さらに3倍と順に拡大して示したものである。これを見ると、横幅が異なるにもかかわらず、波形が似ていることが分かる。ここに自己相似形(フラクタル)が出現しているのである。

fractal02.jpg
前述の論文P.5のFig.4から引用


また、この波形が増加や減少、つまりどちらかのチームが押し込んでいる状態は持続性があり、その時間は2,30秒ということも判明している。さらに、押しこむ際には0.5秒〜5秒くらいはべき乗則に従うように一気に押しこむことが特徴として見られ、それ以降は2,30秒まではゆるやかに流れが持続する動きが確認されている。

サッカーに流れがあることや、一気に押しこむ様子が見られることは経験的に知っていることであるが、それを学術的に証明したことに価値がある。

より学術的に言えば、非整数ブラウン運動に準拠(読み飛ばし可)

上述のグラフを紐解くと、前線位置(frontline)の変動は非整数ブラウン運動に準拠していると論文で結論づけている。

非整数ブラウン運動とは、自己相似性や長期依存といった特性を持つ確率過程(時間とともに変化する変数)のことである。その波形はハースト指数(H)と呼ばれる値で決定され、0<H<0.5では持続性はなく、0.5<H<1で長期依存(持続性)が確認できる。論文で示された前線位置(frontline)に関する波形のハースト指数は0.7であり、長期依存があることが分かる。また同時に、2ーハースト指数=フラクタル次元であるため、当波形のフラクタル次元は1.3であることも分かる。

有名なコッホ曲線のフラクタル次元は1.26なので、前線位置(frontline)グラフの図形としての特徴(空間のスカスカ度)はコッホ曲線に似ているようである。

koch curve.jpg


フラクタル次元に関してはYahoo知恵袋のこのQAが分かりやすい。コッホ曲線のフラクタル次元がなぜ1.26であるのかの解説が分かりやすく書かれている。

この結果が何に応用できるか

さて、科学に興味がある人は「サッカーゲームにはフラクタルが内在していた!」というだけでワクワクするだろうが、現場レベルではこの知識は現状役に立たない。これを活用できるレベルに押し上げるならば、例えば次のようなことが実証的に明らかになる必要がある。

  • 波形の持続性が30秒を超えた場合には決定機を作り出す確率が高くなる
  • 波形の自己相似性が多く発見されるチームほど勝率が高い
  • 相手チームに波形の自己相似性を作らせないことで被シュート数が少なくなる

上記のようなことが分かれば、波形を作るための前線位置の状態を具体的なポジショニングなどに落としこんで考えることも可能かもしれない。また、(これは現場レベルでは関係ないかもしれないが)ゲーゲンプレスなどのネガティブ・トランジションの手法がなぜ有効なのかの要因を明らかにする一端になるかもしれない。

試合中のデータを精緻に拾うことが可能になり、サッカーを数学的に斬る研究が今後ますます広まっていく。デンマークのサッカー研究者(運動生理学)のヤン・バングスボは「サッカーは科学ではないが、科学が役に立つかもしれない」と言っている。まさにその通りで、科学は現実世界に適用した場合には必ずしも万能ではないが、科学が助けてくれることもある。

本論文のような研究が今後も継続されますように。



tags ゲーゲンプレス, フラクタル, 戦術的ピリオダイゼーション理論, 自己相似性, 複雑系, 非整数ブラウン運動


関係は物質よりも本質的である。

本書は、著者である村松尚登氏が12年間に渡るスペインでの指導者経験で体感した「スペインサッカーの強さの秘密」を綴ったものである。論理的にスペインサッカーの強さの秘密を探ろうとするがなかなか探しものにめぐりあえない村松氏の苦悩や葛藤もあわせて描かれており、冒険譚のように読むこともできる。

村松氏の語る「スペインサッカー強さの秘密」およびスペインと日本の差異は非常にロジカルで納得的な内容であり、サッカーを科学的に語りたいと思っている方は必読の良書。

まず直面した日本とスペインの環境の違い

村松氏が直面した目をそらすことのできない事実として、日本とスペインの育成年代における環境の違いがある。その最たる違いが、リーグ戦文化である。

多くのスペイン人が小学校低学年より長期リーグ戦でプレーし始め、それ以降現役を引退するまでの数年間、あるいは数十年間「負けても次がある」という長期リーグ戦を毎週戦い続け、試合経験値を積み上げ続けていきます。そしてその過程において、必然的にサッカー人口全体の"サッカーを見る眼"を肥えさせているのではないでしょうか。(P.58-59から引用)

このリーグ戦文化により、2つの点で大きなメリットが生まれているという。

1つ目が、練習の質の向上である。村松氏は次のように語っている。

"週間サイクル"でスケジュールが進むがゆえに常に目前に具体的な目標設定があるため、毎回の練習にも必然的に集中しやすくなり、練習課題の設定も明確になりますから、自ずと練習の質も高まります。たとえるならば、1年後の受験に備えて勉強することと、1週間後のテストに備えて勉強することの違いです。明らかに後者のほうが、モチベーションの維持や勉強の課題設定は簡単だと思います。(P.88-89から引用)

そして2つ目のメリットが、駆け引きや賢さの向上である。

最近では日本でも駆け引きや賢さ、つまり判断力の向上を目的として育成が行われている。サッカーはプレーが連続的で試合中に監督の指示をいちいち聞いていられないため、選手が自主的に局面におけるプレーを判断しなければならない。局面はパターン化することができるが、机上で簡単に学ぶことができるものではなくピッチの上で体感的に会得する必要がある。そのために必要なことは、試合を多くこなすことである。村松氏の言葉を借りれば、こういうことになる。

「サッカーはサッカーをすることで上手くなる」(P.109から引用)

リーグ戦文化で毎週緊迫した公式戦を戦っているスペインの育成年代では、「サッカー」をする機会が必然的に増え、それが駆け引きや賢さの向上に寄与しているのである。

しかしここで村松氏は思い悩むことになる。確かにリーグ戦文化はスペインサッカーの強さの根源的なものであろう。ただ、それが強さの秘密でした、となると、それはすなわち日本は追いつくことが非常に難しいです、と言っているようなものである。また、サッカーが強くて文化的に根付いているからリーグ戦が普及したのか、リーグ戦が普及したから強くなったのか、鶏が先か卵が先かが定かでない。

もっと奥深いヒントのようなものはないのか。

そんな折、すでにスペイン在住が10年を超えていた村松氏がついに出会ったのが、戦術的ピリオダイゼーション理論である。

戦術的ピリオダイゼーション理論とはなにか

戦術的ピリオダイゼーション理論は、ポルトガル人のヴィトル・フラーデ教授が約30年前に発案したサッカー専用のトレーニング理論である。

フラーデ教授は「サッカーはカオスであり、かつフラクタルである」と定義付けている。そのため、この理論はまずサッカーを複雑系と捉えるところから始まる。本書では、機械論ではなく生命論的なパラダイムでサッカーを捉える、という言い方をしている。

この考え方については、『リーダーシップとニューサイエンス』が詳しい。ニュートン主義を機械論、ニューサイエンスを生命論と置き換えていただいて構わない。

ニュートン科学は、唯物論の立場でもある。人の身体的感覚で感知できるものを重視して世界を理解しようとするのだ。実在するものは、目に見え、明確な物質的形状を持つとされる。物理学の歴史では、そして今もってそうだが、科学者たちは、物質の基本的な「構成要素」、万物のもととなる物質的形状をこぞって探しつづけてきた。
ニューサイエンスとニュートン主義の決定的な違いの一つは、ニューサイエンスが部分よりも全体論を重視していることだ。システムは、システム全体として理解し、ネットワーク内の関係に注目する。(P.23-24から引用)
量子の世界では、関係がすべての決定権を握っている。原子より小さい粒子が形状として観察できるのは、何かほかのものと関係があるときだけだ。独立した「もの」としては存在しない。基本的な「構成要素」はないのだ。(P.25から引用)

本書にも登場する「全体は、部分の総和以上の何かである」という考え方である。

また、人間の「顔つき」という身近な例を用いて『非線形科学 (集英社新書 408G)』では以下のように説明している。

ある人の顔を構成する目、口、鼻などの各部分についてどれほど詳しい情報をもっていても、その人固有の「顔つき」はわかりません。顔つきはこれらの要素の布置から生まれる新しい性質であり、要素自体についての知識には含まれないサムシングだからです。(P.19から引用)

つまり、サッカーは生命論パラダイムに則ったスポーツであり、サッカーの中身を体力やテクニック、戦術眼などの要素に分けて個別にトレーニングをしても「全体」であるサッカーそのものはうまくならないということである。

この理論はまさしく「サッカーはサッカーをすることで上手くなる」という考えが結びついている。村松氏が飛びつくのも納得である。

戦術的ピリオダイゼーション理論を活用するために

本書では以降の流れとして、戦術的ピリオダイゼーション理論を活用したトレーニングメニューをいくつか紹介している。実例をもって紹介しているので分かりやすいが、村松氏も言うように「これが戦術的ピリオダイゼーション理論のトレーニングである」という決まりは存在しない。チームコンセプトを体現できるようになるためのトレーニングが重要であり、チームコンセプトは各チームごとに異なるのだからトレーニングは各チームごとに異なるのが当たり前、という前提に立っているためである。

サッカーはフラクタル(自己相似系)であるという前提を思い出し、どうしたら試合におけるチームコンセプトの発揮場面をトレーニングで再現できるかを考えることが重要であり、指導者の力量が試されるシーンでもある。

サッカーと複雑系についての私見

サッカーに複雑系を適用する考え方は広がりを見せ、『バルセロナが最強なのは必然である グアルディオラが受け継いだ戦術フィロソフィー』(筆者のレビューはこちら)ではバルセロナのサッカーを複雑系理論と絡めて解説している。

また、論文『サッカーゲームにはハブがある』(筆者のレビューはこちら)ではサッカーの試合でネットワーク理論が成り立つことをデータから明らかにしている。

個人的には、フラーデ教授が提唱した「サッカーはカオスであり、かつフラクタルである」という定義は正しいけれど若干古い気もしている。

20世紀は機械論の世紀と言われていたが、科学者が生命論に気付いていなかったわけではなくその存在を実証的に証明できなかっただけである。計算に信じられないくらい時間がかかるため、コンピューターなしでは計算が不可能だったのである。ただ、村松氏も言うように、現在では複雑系理論は数学的に証明できている。その中心にあるのが「ベキ法則(べき乗則)」である。

ベキ法則とは80:20の法則やロングテールといったほうが一般的には通りがよいかもしれない。べき法則は『新ネットワーク思考―世界のしくみを読み解く』が詳しい。

現実のネットワークのほとんどは、わずかなリンクしかもたない大多数のノードと、莫大なリンクをもつ一握りのハブが共存しているという特徴をもっている。これを数式で表したのがベキ法則なのだ。(P.103から引用)
ベキ法則は、カオス、フラクタル、相転移など、二十世紀後半に成し遂げられた概念上の大躍進の中核にある法則なのである。ネットワークにもベキ法則が見出されたということは、ネットワークと他の自然現象とのあいだに予期せぬつながりが存在する徴にほかならない。(P.106から引用)

カオス、フラクタルにべき法則が発見され、そして自然界や社会的なネットワーク、インターネットにもべき法則が発見されている。すべてはつながっており、自然界の様々な現象もサッカーゲームも例外ではない。

これらを包括的に扱っている理論がネットワーク理論である。

フラーデ教授がサッカーの定義を提唱したときにはまだネットワーク理論は確立されていなかった。そんな時代にサッカーをカオスやフラクタルで斬った先見の明はすばらしい。そして教授の言葉を受けて、科学の進んだ現代ではこのように定義したほうが「サッカーの試合」という意味ではしっくりくる気がする。

「サッカーは、ネットワーク理論に支配されている」、と。

戦術的ピリオダイゼーション理論にも触れつつ、このあたりは別エントリーでまとめてみたいと思う。



tags べき乗則, べき法則, カオス, テクニックはあるが、「サッカー」が下手な日本人, ネットワーク理論, フラクタル, 戦術的ピリオダイゼーション理論, 村松尚登, 複雑系

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プロフィール

profile_yohei22 yohei22です。背番号22番が好きです。日本代表でいえば中澤佑二から吉田麻也の系譜。僕自身も学生時代はCBでした。 サッカーやフットサルをプレーする傍ら、ゆるく現地観戦も。W杯はフランスから連続現地観戦。アーセナルファン。
サッカー書籍の紹介やコラム、海外現地観戦情報をお届けします。

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